Euclid’s axiomatism สัจพจน์นิยมของยูคลิด

ผู้แต่ง : รวิช ตาแก้ว
ผู้ปรับแก้ : กีรติ บุญเจือ

ความคิดแบบกรีกที่เริ่มตั้งแต่เธลิส (เท่าที่มีหลักฐาน) มานั้น ต้องเริ่มระบบเครือข่ายจากปฐมธาตุซึ่งจะต้องเป็นหลักการแม่บท (first principle) ด้วย มิฉะนั้นก็จะไม่ครบเงื่อนไขของระบบเครือข่าย ดังนั้นเมื่อเธลิสแถลงว่าปฐมธาตุได้แก่น้ำ น้ำนั้นต้องมีพลังทำการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างส่วนต่าง ๆ ของน้ำ พลังนั้นเธลิสเรียกว่า วิญญาณบ้าง เทพบ้าง หรือชีวิตก็มี ที่สำคัญคือเป็นพลังชีวิตที่ประจำอยู่กับน้ำ พลังชีวิตนี้แหละที่กระทำการอย่างมีกฎมีเกณฑ์อย่างสม่ำเสมอ จึงเป็นกฎที่โยงใยสัดส่วนเข้าเป็นระบบเครือข่าย ซึ่งสามารถรู้ได้ตรงตามเครือข่ายของโลกและแสดงออกเป็นภาษาได้ตรงตามที่เข้าใจ ภาษาจึงแสดงเครือข่ายได้ตามต้องการ

ส่วนสำนักไพแธเกอเริสเสนอว่าปฐมธาตุได้แก่จำนวนเลข และพลังที่เป็นระบบเครือข่ายของจำนวนเลขก็คือ ความกลมกลืนที่แสดงประจักษ์เป็นกฎคณิตศาสตร์ ทุกอย่างในเอกภพเดินตามกฎคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัด เพราะล้วนแต่เป็นจำนวนเลขเต็ม จึงกลมกลืนกันดีในทุกสัดส่วน และโดยการเชื่อว่าตัวเลขเป็นความเป็นจริง สำนักนี้เชื่อว่าตนสามารถเข้าใจระบบเครือข่ายได้ชัดเจนกว่าสำนักอื่น ๆ เพราะสามารถไล่เรียงความเข้าใจจากข้อที่ง่ายที่สุดซึ่งเข้าใจได้ชัดเจนที่สุด และแน่ใจในความจริงอย่างที่สุด ที่เรียกว่าสิ่งที่เห็นจริงแล้ว (axiom) ใช้ไล่เรียงติดตามหาความจริงอื่น ๆ ได้ทั้งระบบเครือข่าย วิธีนี้เมื่อใช้ในการเรียนเรขาคณิต เรียกว่า วิธีพิสูจน์แบบเรขาคณิต แต่สำนักไพแธเกอเริสถือว่าทั้งเอกภพเกิดจากจำนวนเลข และมีความสัมพันธ์กันตามรูปทรงเรขาคณิตอันเกิดจากจำนวนเลข ดังได้อ้างอิงไว้แล้วข้างต้น แต่เราก็ไม่ทราบว่าไพแธเกอเริสหรือสมาชิกอื่นของสำนักสร้างระบบไว้ให้ดูมากน้อยแค่ไหน หากได้ทำไว้ก็คงเป็นความลับเก็บไว้ศึกษากันในหมู่สมาชิกซึ่งเชื่อกันว่า ใครเข้าใจถ่องแท้ก็จะพ้นทุกข์ ตำราฉบับแรกตามแนวความคิดนี้ได้แก่ เรขาคณิตเบื้องต้น(Elements) ของยูคลิด ซึ่งรวบรวมความรู้คณิตศาสตร์เท่าที่รู้ขณะนั้นเขียนเป็นตำราพิสูจน์ด้วยวิธีเรขาคณิต ตั้งสำนักสอนที่เมืองแอลิกแซน เดรียที่ปากแม่น้ำไนล์ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์กาล ทำให้วิชาคณิตศาสตร์ตั้งตัวเป็นวิชาอิสระตั้งแต่บัดนั้น ทั้งนี้ก็เพราะจำนวนเลขและระบบเครือข่ายแบบรูปทรงเรขาคณิตไม่อาจพิสูจน์ตัวเองว่าเป็นอภิปรัชญาได้อย่างน่าพอใจ ทั้งวิธีพิสูจน์แบบเรขาคณิตก็ไม่อาจแข่งกับวิธีตรรกวิทยาของแอเริสทาเทิลได้ จึงปลีกตัวไปค้นคว้าเฉพาะด้านของตนเองโดยเฉพาะ และประสบผลสำเร็จต่อมาอย่างมาก จนในที่สุดปรัชญาก็ต้องกลับไปขอพึ่ง ดังเราจะได้ศึกษากันต่อไป

ปัญหาที่สำนักไพแธเกอเริสเผชิญในการผลักดันให้จำนวนเลขเป็นอภิปรัชญานั้น สืบเนื่องมาจากการค้นพบในสำนัก และยังเรียกว่าเป็นทฤษฎีของไพแธเกอเริส (Pythagorean theory)เรื่อยมาจนทุกวันนี้ คือทฤษฎีเรขาคณิตที่ระบุว่า ถ้าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านทะแยงมุมจะต้องเท่ากับผลบวกของกำลังสองของอีกสองด้านเสมอ คือ c2 = a2 + b2 (c = ด้านทะแยงมุม)

ถ้าสมมุติว่าด้านไม่ทะแยงมุมเท่ากัน คือ a = b เราจะได้ c2 = 2b2 = 2a2ซึ่งมีความเป็นจริงรองรับ เช่น เรารังวัดที่นาให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีด้านประกอบมุมฉากเป็น 1 หน่วยเท่ากัน ด้านทะแยงมุมก็จะต้องเท่ากับ “รากที่ 2 ของ 2”  ซึ่งเป็นทศนิยมไม่รู้จบ ซึ่งต่างกับค่าของ 22/7 ซึ่งเราสามารถแก้ปัญหาโดยการสร้างวงกลมให้เส้นรัศมีเท่ากับ 7 หน่วย เราจะได้เส้นรอบวง 22 หน่วย ซึ่งมีจริงได้ ตามอภิปรัชญาของไพแธเกอเริสว่าความเป็นจริงทุกอย่างเกิดจากจำนวนเลขเต็ม แต่กรณฑ์ 2 ของ 2 ไม่มีทางจะทำให้เป็นเลขจำนวนเต็มได้เลยไม่ว่าจะใช้ตัวคูณควบสักเท่าใดก็ตาม จนพากันขนานนามว่า เป็นตัวเลขประเภทไร้เหตุผลหรืออตรรกยะ (irrational number) เมื่อเป็นเช่นนี้อภิปรัชญาของไพแธเกอเริสถือว่าไม่มีในความเป็นจริง แต่ทว่ารูปสามเหลี่ยมที่เรารังวัดไว้ในทุ่งนามีจริง และส้นทะแยงมุมที่เป็นปัญหานั้นก็เป็นของจริง ณ ทุ่งนาแห่งนั้น และที่อื่นทุกแห่งที่สามารถรองรับรูปสามเหลี่ยมประเภทนี้ได้

หลายคนคิดว่านี่อาจจะเป็นเหตุผลหนึ่งที่สำนักไพแธเกอเริสปิดตัวต่อคนภายนอก และสมาชิกภายในแตกเป็น 2 ฝ่าย คือ ฝ่ายหนึ่งมุ่งปฏิบัติธรรมตามข้อกำหนดของสำนักเพื่อความหลุดพ้น อีกฝ่ายหนึ่งมุ่งค้นคว้าคณิตศาสตร์โดยไม่สนใจตอบปัญหาอภิปรัชญา ทำให้คณิตศาสตร์ค่อย ๆ แยกตัวออกจากปรัชญาโดยปริยาย ทั้ง ๆ ที่พยายามปกปิดวิธีพิสูจน์ว่ามีเลขไม่ลงตัว แต่ความก็แตกออกจนได้ ทำให้สำนักไพแธเกอเริสได้ชื่อว่าเป็นผู้ริเริ่มวิธีพิสูจน์เครือข่าย ซึ่งให้ความแน่ใจมากกว่าพิสูจน์แบบอุปนัยของชาวอียิปต์ ความแตกออกมาเช่นนี้นำความเสื่อมาสู่สำนักไพแธเกอเริส แต่นำความก้าวหน้าสู่การพัฒนาปัญญา